МОДЕЛИРОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВОЛНОВОГО ПРОЦЕССА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЕКУРРЕНТНО-ОПЕРАТОРНОГО МЕТОДА

Эта обзорная статья, в которой дается решение одномерной и трехмерной задачи о волновом процессе. Рассматриваемое уравнение является гиперболическим уравнением, которое может быть получено только для одномерного случая и описывает процесс речного стока, переноса вещества, диффузионного массопереноса и течения через пористую среду. Решение уравнения ищется в виде интегро-дифференциальных операторов, представленных в виде специального ряда с постоянными коэффициентами, определяемыми из рекуррентного соотношения. При таком подходе общие решения выражаются в терминах произвольных функций и не связаны с решением другого уравнения. Результирующий вид общих решений позволяет применять метод начальных функций для решения краевых задач, поскольку произвольные аналитические функции, входящие в общие решения, могут быть выражены в терминах начальных функций, заданных условием задачи. Из этих формул общих решений легко найти все частные решения в различных классах аналитических функций. Далее, рассматривается решение частного случая уравнения Ламе, описывающего волновой процесс. Решение частного случая уравнения Ламе также ищется в виде ряда с использованием рекуррентно-операторного метода. Алгоритм решения трехмерной задачи о волновом процессе аналогичен алгоритму решения одномерной задачи. Такой подход очень эффективен для построения решений уравнений теории теплопроводности и теории упругости. Полученные результаты проиллюстрированы графически и представлены в таблицах.

1. P.M. Pirniyazova. Mathematical modelling of ecologically unfavourable pollution hotspots. Monography. – Almaty, 2020. – 101 p.

2. Pirniyazova, P. M. Modelling of a three-dimensional problem of distribution of harmful impurity in the river a recurrently-operational method / P. M. Pirniyazova // Евразийский союз ученых. – 2020. – No. 6–1 (75). – P. 8–12.

3. V. N. Frolov. Specialnye klassi funciy v anizotropnoy teoriy uprugosti. Monography. – Tashkent, 1981. – 223 p.

4. Spivakov Y.L. Special classes of solutions of linear differential equations and their application in anisotropic and heterogeneous elastic theory. Monography. – Tashkent: Fan, 1987. – 296 p.

5. B.А. Bondarenko. Operator algorithms in differential equations. «FANӘ Publishing House.1984г.

6. B.А. Bondarenko, P. M. Pirniyazova. Normalized systems of functions and their application to the solution of problems of diffusion equations. https://zbmath.org/pdf/05873058.pdf

7. Xu, D. An accurate and efficient series solution for the longitudinal vibration of elastically restrained rods with arbitrarily variable cross sections / D. Xu, J. Du, Z. Liu // Journal of Low Frequency Noise, Vibration and Active Control. – 2019. – Vol. 38, No. 2. – P. 403–414.

8. P.M. Pirniyazova, D. Koshanova. Mathematical Modeling to Estimate the Diffusion of Traffic-Related Air Pollutants in Almaty City. 2023 IEEE Smart Information Systems and Technologies (SIST) 4-6 May, 2023, Astana, Kazakhstan.

9. E.V Rojkova. Longitudinal vibrations of the rod in a generalized elastic medium // Mechanics. Research and innovation. – Gomel, 2022. – Issue 15. ISSN 2519-8742.

10. Kachiashvili K.I., Gordeziani D.G., Melikjanyan D. I. Modern modeling and computer technologies for research and quality control of river water. – Tbilisi: GTU, 2007 – 251 p.

11. Rozhkova, E. V. Recurrent operator method in problems of oscillations of rod systems / E. V. Rozhkova // News of the Russian Academy of Sciences. Solid state mechanics. – 2009. – No. 6. – P. 124–138.

12. Rozhkova, E. V. Solution of the generalized equation of oscillation of rods by the recurrent operator method / E. V. Rozhkova // News of the Russian Academy of Sciences. Solid state mechanics. – 2018. – No. 5. – P. 90–105.

13. Map of earthquakes in Almaty, Kakhastan City of Almaty (www.gov.kz ).